Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{1}{5} x + \frac{3}{10} y = 1$ , $\frac{1}{6} x - \frac{1}{3} y = 2$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x$ .

$\frac{x}{5} + \frac{3}{10} y = 1, \frac{1}{6} x - \frac{1}{3} y = 2$

Paso 1.2

Combina $\frac{3}{10}$ y $y$ .

$\frac{x}{5} + \frac{3 y}{10} = 1, \frac{1}{6} x - \frac{1}{3} y = 2$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $x$ .

$\frac{x}{5} + \frac{3 y}{10} = 1, \frac{x}{6} - \frac{1}{3} y = 2$

Paso 2.2

Combina $y$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{5} + \frac{3 y}{10} = 1, \frac{x}{6} - \frac{y}{3} = 2$

Paso 3

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & \frac{3}{10} & 1 \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & 2 \end{array}]$

Paso 4

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $5$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $5$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 (\frac{1}{5}) & 5 (\frac{3}{10}) & 5 \cdot 1 \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & 2 \end{array}]$

Paso 4.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 5 \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & 2 \end{array}]$

Paso 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{6} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{6} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 5 \\ \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1 & - \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} & 2 - \frac{1}{6} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 4.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 5 \\ 0 & - \frac{7}{12} & \frac{7}{6} \end{array}]$

Paso 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{12}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{12}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 5 \\ - \frac{12}{7} \cdot 0 & - \frac{12}{7} (- \frac{7}{12}) & - \frac{12}{7} \cdot \frac{7}{6} \end{array}]$

Paso 4.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 5 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Paso 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & 5 - \frac{3}{2} \cdot - 2 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Paso 4.4.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Paso 5

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x = 8$

$y = - 2$

Paso 6

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(8, - 2)$

Paso 7

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \end{array}]$